Там, де дроти перестають бути дротами

Дріт — це дріт, поки він ним не перестає бути.

У теорії кіл із зосередженими елементами дріт — це еквіпотенціаль: однакова напруга на обох кінцях, в один і той самий момент, завжди. Ця модель тихо помирає тієї миті, коли дріт стає довгим порівняно з довжиною хвилі. На 400 МГц довжина хвилі у звичайному коаксіалі — близько пів метра. Тобто метровий патч-корд має довжину у дві довжини хвилі, і напруга на одному його кінці вже майже не пов’язана з напругою на іншому. Це більше не вузол. Це середовище.

Усе, що вище, — це той самий момент, тільки за нього можна потягнути. Нижче — на що дивитись.

Два погляди на одну лінію

Перемикач у заголовку: Імпульс і Хвиля. Та сама лінія, те саме навантаження, той самий Γ — але різні питання.

Імпульс — це часова область. Запускаємо один сплеск, дивимось, як він біжить, доходить до навантаження й повертається. Відбиття тут — подія, що стається в певний момент. Час пробігу можна порахувати.

Хвиля — це сталий режим на одній частоті, де пряма і зворотна хвилі інтерферують уже нескінченно довго. Відбиття тут — нерухомий візерунок у просторі. Ніщо не біжить; воно лише дихає.

Більшість плутанини з довгими лініями виникає через непомітне змішування цих двох картин. Тримати їх на окремих вкладках — у цьому вся педагогічна суть.

Одне-єдине рівняння

Γ = (Z_L − Z₀) / (Z_L + Z₀)

Три опорні точки варто запам’ятати, і кнопки під повзунком навантаження ведуть просто до них:

Навантаження	Z_L	Γ	Що повертається
КЗ	0	−1	усе, у протифазі
Узгоджено	Z₀	0	нічого
ХХ	∞	+1	усе, у фазі

Решта — десь між ними.

Повзунок, який поводиться пристойно

Z_L змінюється від 0 до ∞ — вороже діапазон для повзунка. Тут використано відображення:

Z_L = Z₀ · s/(1 − s),   s ∈ [0, 1]

яке дає

Γ = 2s − 1

точно лінійно за положенням повзунка. КЗ — ліворуч, узгодження — точно в центрі, ХХ — праворуч, і однакові зсуви дають однакові зміни відбиття. Вісь опору навмисно нелінійна, щоб вісь відбиття була лінійною — бо саме відбиття ви намагаєтесь відчути, а не оми.

τ = 2 — це не безкоштовна енергія

Коефіцієнт передачі: τ = 1 + Γ. При холостому ході τ = 2: напруга на кінці лінії подвоюється. І кожен студент ставить те саме цілком слушне питання — звідки береться зайва енергія?

Нізвідки. τ — це відношення напруг, а не потужностей. Потужність ділиться так:

відбито = |Γ|²        передано = 1 − |Γ|²

При ХХ |Γ| = 1: 100% відбито, 0% передано. Напруга подвоюється, струм примусово падає до нуля, і їхній добуток — потужність — дорівнює нулю. Табло це показує, а режим «Потужність» робить це прямим текстом: при ХХ крива лежить рівно на осі. У розімкнене коло не передається нічого, хоч би якою ефектною була напруга.

τ² дорівнювало б 4. Числа 4 тут немає в жодному місці фізики. Квадрат відношення напруг — це не відношення потужностей, коли на межі змінюється опір. Ось у чому пастка.

Струм — це дзеркало

Напруга відбивається з Γ. Струм відбивається з −Γ:

V     = V⁺ + V⁻
I·Z₀  = V⁺ − V⁻

Одна зміна знака — і все інше випливає з неї. При ХХ струм примусово нульовий, а напруга подвоюється. При КЗ напруга примусово нульова, а струм подвоюється. Ідеальні дзеркала — перемикайтесь між Струм і Напруга на кожній із крайніх точок і дивіться, як вони міняються місцями.

Саме тому потужність зникає на обох кінцях: p·Z₀ = (V⁺)² − (V⁻)². Один із множників завжди гине. ХХ не може розсіювати, бо немає струму; КЗ не може розсіювати, бо не виникає напруги. Різні механізми — той самий нуль.

V та I разом, і проблема масштабу

Режим V + I ставить обидві величини на один графік — і одразу впирається в чесну незручність: на 50 Ом хвиля 1 В несе лише 20 мА. Напруга і струм справді відрізняються у Z₀ разів. Намалюйте їх на одній осі чесно — і струм стане невидимою брижею на нульовій лінії.

Розв’язок — той самий, який застосовує осцилограф: окреме підсилення на канал, окрема шкала на канал. Напруга читається на лівій шкалі, у вольтах. Струм читається на правій шкалі, у справжніх міліамперах, і намальований ×10, щоб його було видно. Збільшення змінює розмір, але ніколи — число: права шкала завжди показує справжній струм.

Співвідношення при цьому лишається неушкодженим: на навантаженні V = Z_L · I. Поставте Z_L = 150 Ом і прочитайте: V = 1,5 В, I = 10 мА, V/I = 150 Ом. Зменште Z₀ до 25 Ом — і струм помітно подвоїться. Це відношення і є опір, намальований.

Стояча хвиля

Перемкніться на Хвилю з неузгодженим навантаженням — і з’явиться огинаюча: максимуми й мінімуми, закріплені на місці, з кроком λ/2. Відношення екстремумів — це КСХ:

КСХ = |V|max / |V|min = (1 + |Γ|) / (1 − |Γ|)

1 — узгоджено, ∞ — повне відбиття. Це те саме число, яке показує ваш КСХ-метр, — і тепер видно, звідки воно береться.

А тоді ввімкніть у цьому режимі V + I — заради картини, яка варта всього іншого: огинаючі напруги і струму зсунуті на λ/4. Кожен вузол напруги — це пучність струму. У лінії є нулі напруги саме там, де струм максимальний. Ось чому «поміряти напругу» на неузгодженій лінії — беззмістовна дія, доки ви не скажете де.

Діаграма Сміта

Панель діаграми Сміта — це площина коефіцієнта відбиття, на якій опір намальовано колами. Це не окрема тема: це той самий Γ, за який ви тягнули, побудований як комплексне число.

Дві речі вона робить очевидними:

Рух до генератора обертає Γ за годинниковою стрілкою на 2βℓ. Опір, який ви бачите на вході, — це не навантаження, а навантаження, обернене на електричну довжину.
Z_вх = Z₀(1 + Γ_вх)/(1 − Γ_вх). КЗ на кінці може виглядати як ХХ на вході, якщо стати за чверть довжини хвилі від нього.

По діаграмі можна клікнути, щоб задати навантаження напряму.

Чвертьхвильовий трансформатор

Увімкніть його — і перед навантаженням з’явиться λ/4-ділянка з

Z_t = √(Z₀ · Z_L)

Вона перетворює Z_L на Z_t²/Z_L = Z₀, тож джерело бачить ідеальне узгодження крізь неузгоджене навантаження. КСХ падає до 1, відбиття читається як ~0.

Неузгодження нікуди не зникло — стояча хвиля досі живе всередині ділянки трансформатора. Просто її сховали від джерела. Ця різниця важлива: це узгодження опорів, а не зцілення.

Що живе за навантаженням

Остання третина графіка — це середовище навантаження, і воно потребує застереження, бо це єдине місце, де інструмент моделює, а не обчислює.

Зосереджене навантаження не має просторової протяжності — «передану хвилю» в резистор намалювати неможливо. Тому область за межею намальована як еквівалентна напівнескінченна лінія, хвильовий опір якої дорівнює Z_L. Вона має той самий Z_L, тож усе на боці лінії — Γ, КСХ, передана потужність — точне й недоторкане.

Для дійсного Z_L це знайома картина: інший кабель, без втрат, який несе потужність нескінченно. Рівна огинаюча.

Для комплексного Z_L випливає дещо несподіване. Лінія, хвильовий опір якої комплексний, не може бути без втрат. Пасивність вимагає, щоб і погонний послідовний опір γZ₂, і паралельна провідність γ/Z₂ мали невід’ємні дійсні частини, а це змушує:

α ≥ β · |X| / R      →      54,6 · |X|/R  дБ на довжину хвилі

Візьміть рівність (найменш втратне пасивне середовище) — і хвиля помітно згасає. Коефіцієнт нещадний: навіть X/R = 0,02 коштує ~1,1 дБ на довжину хвилі. Втрати залежать лише від відношення X/R — не від частоти й не від довжини.

Чесне застереження: це згасання належить еквівалентній лінії, а не вашому зосередженому R + jX, який просто розсіює в R. Воно означає: «якби ви замінили це навантаження еквівалентним кабелем, той кабель мусив би мати невеликі втрати». Якщо це відволікає — перемикач вимикає всю область.

Коефіцієнт потужності, що ховається у графіку потужності

Поставте комплексне навантаження, перемкніться на Потужність — і огинаюча буде помітно асиметричною: верхня межа височіє над нижньою. Виглядає як помилка. Це не помилка.

Напруга і струм коливаються симетрично відносно нуля. Потужність — ні. Миттєва потужність коливається навколо свого середнього з амплітудою ½|V||I|, а середнє дорівнює P_avg = ½|V||I|·cos φ. Тож межі такі:

½|V||I| · (cos φ ± 1),    φ = arg(Z)

Для Z_L = 50 + j50, φ = 45°: межі дорівнюють +0,966 і −0,166. Верх у 5,8 раза більший за низ. Далі обидві згасають з однаковою швидкістю — але стартують із різницею в 5,8 раза, тому згасання виглядає перекошеним.

І винагорода:

cos φ = (hi + lo) / (hi − lo)

Асиметрія — це і є коефіцієнт потужності. Суто активне навантаження дає lo = 0: потужність ніколи не тече назад. Суто реактивне дає симетричні межі відносно нуля: чисте «хлюпання», нічого не передається взагалі. Усе реальне лежить між. Штрихова зелена лінія — це те саме середнє: рівне вздовж лінії без втрат (сумарна потужність однакова в кожній точці), а далі спадає у поглинаючому середовищі, у міру того як енергію з’їдають.

Чому комплексне навантаження перемикає на Хвилю

Задайте реактивність — і інструмент стрибне у Хвилю. Це навмисне, і причина цікавіша, ніж здається.

Реактивність — величина одночастотна: X = ωL або −1/(ωC). «+j50 Ом» має сенс лише на одній ω. Імпульс широкосмуговий, тож кожна спектральна складова бачить свій X. Немає жодного одного числа, яке можна покласти на повзунок.

Гірше того — відбиття перестає бути множенням. При комплексному Z_L(ω) коефіцієнт Γ(ω) залежить від частоти, і відбитий імпульс стає оберненим перетворенням від Γ(ω)·G(ω) — спотвореною, розмазаною формою, а не масштабованою копією. Індуктивне навантаження відбиває щось ближче до продиференційованого імпульсу зі спадним хвостом. Змінюється форма, а не лише висота.

А це руйнує основне припущення рушія. Режим імпульсу — це суперпозиція масштабованих і затриманих копій у замкненій формі:

V(z,t) = Σₙ (Γ_L Γ_s)ⁿ [ g(t − 2nT − z/v_p) + Γ_L · g(t − 2nT − (2L−z)/v_p) ]

яка чинна лише тоді, коли Γ_L — дійсний, незалежний від частоти скаляр. Комплексні навантаження в часовій області потребують згортки, а не множення. Тож замість того, щоб видавати правдоподібну, але хибну фізику, реактивність у режимі імпульсу примусово обнуляється.

Отже: у режимі імпульсу Γ — це число. У режимі хвилі Γ — це фазор. Просите фазор — потрапляєте на фазорну вкладку.

Дрібниці, які мають значення

Імпульс аналітичний, а не покроковий. Кожен момент обчислюється у замкненій формі із суперпозиції відбиттів, а це означає, що прокручування назад коштує рівно стільки ж, скільки вперед. Поставте на паузу і тягніть час рукою.
Опір джерела має значення. Якщо Z_s ≠ Z₀, хвиля, що повернулась, перевідбивається від джерела з Γ_s — і ви отримуєте багато відбиттів, класичні «сходинки». Поставте Z_s = Z₀ — і кожне відбиття поглинається одразу після прибуття: рівно одне відбиття, назавжди.
Електрична довжина (L/λ), а не метри — ось що насправді важить для лінії. Підніміть частоту — і той самий кабель стане електрично довшим. Подивіться, як згущується візерунок стоячої хвилі.
Кожен символ і кожен орган керування має підказку при наведенні з поясненням. Їх 36. На екрані не має лишитись жодної загадки.
Подвійний клік будь-де скидає все. Мову й повноекранний режим навмисно виключено — це налаштування перегляду, а не фізика.

З чого почати

Імпульс, ХХ. Подивіться на τ = 2 на кінці лінії. Тоді перемкніться на Потужність і побачте нульову передачу. Посидьте з цією суперечністю, доки вона не перестане бути суперечністю.
Імпульс, КЗ. Те саме, тільки навпаки. Порівняйте Напругу і Струм.
Пресет «Відбиття». Z_s ≠ Z₀ — і дивіться, як імпульс «дзвенить», а кожен пробіг масштабується на Γ_L·Γ_s.
Хвиля, потягніть повзунок навантаження зліва направо: огинаюча схлопнеться в пряму рівно в центрі, а тоді розкриється знову.
λ/4-трансформатор на навантаженні 150 Ом. КСХ падає до 1. А тоді подивіться на стоячу хвилю, яка досі живе всередині ділянки трансформатора.

Інструмент — це один самодостатній React-компонент: без бекенду, без залежностей, окрім React. Усе, що ви бачите, обчислюється у вашому браузері з рівнянь, наведених вище.